Jeg har problemer med at beregne differentialligningerne for en forenklet lastebro.
Systemet er bygget som vist på billedet nedenfor (bare en skitse):
Hvis jeg bruger Newton-metoden, får jeg følgende ligninger ved at forsømme friktion, luftmodstand og ændringer i rebets længde:
$ $ m_k \ ddot {x} _ {k} = F_ {A} + F_ {S} \ sin (\ varphi) \\ m_G \ ddot {x} _ {G} = -F_ {S} \ sin (\ varphi ) \\ m_G \ ddot {z} _ {G} = m_ {G} g - F_ {S} \ cos (\ varphi) $$
Når jeg ser på de kinematiske forhold fra griberen ( cirklen med vægten $ m_G $) Jeg får følgende ligninger.
$$ x_ {G} = x_ {k} + l \ sin (\ varphi) \\ z_ {G} = l \ cos (\ varphi) \\\ varphi = \ omega t = \ dot {\ varphi} t $$
Jeg kender vægten $ m_k $ og $ m_G $ og længden $ l $ men værdierne er ikke vigtige lige nu.
Målet er at have to differentialligninger i slutningen. En ligning skal vise forholdet mellem drivkraften $ F_A $ og stien til vognen $ x_k $ (med afledninger) Den anden ligning skal vise forholdet mellem drivkraften $ F_A $ og rebets vinkel $ \ varphi_G $.
Derefter vil jeg lave overførselsfunktionerne (Laplace-transformation osv.), men det er ikke problemet.
Problemet er, at jeg ikke ser ud til at finde disse ligninger. Min bedste tilgang hidtil ser sådan ud:
$$ m_ {k} \ ddot {x} _ {k} = F_ {A} + F_ {S} \ sin (\ varphi) $$
Så det betyder, hvis
$$ m_G \ ddot {x} _ {G} = -F_ {S} \ sin (\ varphi) \\ F_ {S} \ sin ( \ varphi) = -m_ {G} \ ddot {x} _ {G} \\ $$
Jeg kan sige:
$$ m_ {k} \ ddot {x } _ {k} = F_ {A} - m_ {G} \ ddot {x} _ {G} \\ $$
og hvis jeg udleder $ x_ {G} $ sådan:
$$ x_ {G} = x_ {k} + l \ sin (\ varphi) \\\ prik {x} _ {G} = \ prik {x} _ {k} + l \ prik { \ varphi} \ cos (\ varphi) \\\ ddot {x} _ {G} = \ ddot {x} _ {k} + l \ left [\ ddot {\ varphi} \ cos (\ varphi) - \ dot {\ varphi} ^ {2} \ sin (\ varphi) \ right] $$
Jeg sidder faktisk fast her, fordi jeg ikke kan finde en måde at fjerne $ \ varphi $ fra ligningerne. Tilføjelsessætningerne hjælper mig slet ikke (eller bruger jeg dem korrekt).
Har nogen en idé om, hvordan jeg skal fortsætte på dette tidspunkt? Jeg håber, jeg ikke har brug for en komplet løsning . Jeg er faktisk mere interesseret i at gøre dette selv og håber at få et skub mod den rigtige retning.