Energi fra en 3D Timoshenko-stråle

Ferdi811

2016-02-01 16:37:29 UTC

view on stackexchange narkive permalink

Jeg er interesseret i den kinetiske energi T og den potentielle energi U af en tredimensionel Timoshenko-stråle.

For en 2D Timoshenko-stråle læses energierne: $$ T = \ dfrac {1} {2 } \ int \ limits_o ^ l \ left (\ rho A \ left (\ dfrac {\ partial w} {\ partial t} \ right) ^ 2 + \ rho I \ left (\ dfrac {\ partial \ Phi} {\ delvis t} \ højre) ^ 2 \ højre) dx $$$$ U = \ dfrac {1} {2} \ int \ limits_o ^ l \ venstre (EI \ venstre (\ dfrac {\ delvis \ Phi} {\ delvis) x} \ right) ^ 2 + kAG \ left (\ dfrac {\ partial w} {\ partial x} - \ Phi \ right) ^ 2 \ right) dx $$

Men i disse formler $ w $ og $ \ Phi $ er netop defineret i xy-Plane. Hvordan kan jeg udlede energierne til bøjning i begge retninger (xy-Plane og yz-Plane) og torsion (omkring x-aksen)?

EDIT: Jeg fandt ud af en del af spørgsmålet ved mig selv: Fordi Timoshenko-bjælker er en lineær teori, kan man simpelthen tilføje energierne fra to deformationer og få energierne i superpositionen af deformationerne. Derfor: $$ T = \ dfrac {1} {2} \ int \ limits_o ^ l \ left (\ rho A \ left (\ dfrac {\ partial v} {\ partial t} \ right) ^ 2 + \ rho A \ left (\ dfrac {\ partial w} {\ partial t} \ right) ^ 2 + \ rho I \ left (\ dfrac {\ partial \ theta} {\ partial t} \ right) ^ 2 + \ rho I \ venstre (\ dfrac {\ partial \ Phi} {\ partial t} \ right) ^ 2 \ right) dx $$$$ U = \ dfrac {1} {2} \ int \ limits_o ^ l \ left (EI \ left (\ dfrac {\ partial \ Phi} {\ partial x} \ right) ^ 2 + EI \ left (\ dfrac {\ partial \ theta} {\ partial x} \ right) ^ 2 + kAG \ left (\ dfrac { \ partial v} {\ partial x} - \ theta \ right) ^ 2 + kAG \ left (\ dfrac {\ partial w} {\ partial x} - \ Phi \ right) ^ 2 \ right) dx $$ Where $ w: \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} ^ {+} \ rightarrow \ mathbb {R} $ er afbøjningen i xy-planet og $ \ Phi: \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R } ^ {+} \ rightarrow \ mathbb {R} $ er hældningen i xy-planet. Henholdsvis $ v $ og $ \ theta $ for y-z-planet. Kan nogen venligst bekræfte dette?

Stadig mangler energierne til torsion. Kan teorien om Saint-Venant anvendes her?

Bare for at være helt klar: du spørger om at bøje i begge retninger samtidigt, ikke?

Hej @Wasabi! Ja, jeg vil have begge energier, hvis jeg bøjer strålen både i x-y-retning og i y-z-retning samtidigt.